Aplicação de EDO no descarregamento de um capacitor em um circuito RC

Este post trata-se de um trabalho de modelagem feito por um grupo de acadêmicos, onde eu estou incluindo, do curso de licenciatura em matemática da Universidade do Estado de Mato Grosso, Unemat, apresentado ontem (16/11/2010) tratando da aplicação de Equações Diferenciais Ordinárias em modelagem matemática feita com um experimento de um circuito RC.

No caso do nosso grupo optamos por uma modelagem voltada a física, pois seria bem mais fácil encontrarmos material de apoio e fundamentação teórica, até mesmo porque o nosso objetivo não era "criar um modelo", mas sim verificar sim aplicar um EDO.

Mas vamos ao que interessa.

Material utilizado para o experimento:

 

 

 

(Espírito de MacGayver)

Revisão da teoria:

Sabemos que a diferença de potencial elétrico no resistor, no Capacitor são dadas por

A corrente elétrica é a taxa de variação da carga elétrica em relação ao tempo t que atravessa

uma seção transversal de um condutor.

A soma algébrica das diferenças de potencial em uma malha é zero

Usando a segunda lei de Kirchhoff como base temos que

VR : diferença de potencial elétrico do resistor

VC : diferença de potencial elétrico do capacitor

substituímos a diferença de potencial elétrico do resistor por:

substituímos a corrente por:

substituímos a ddp do capacitor por:

A partir daqui vimos que a equação se assemelhava a:

consequentemente a uma:

exceto é claro pelo R que estava multiplicando a derivada, então
dividimos tudo por R.

Resultando na EDO:

E como a resistência e a capacitância são constantes no circuito
RC podemos substitui-lo, para simplificar, por:

Assim:

Como a derivada é de q (t) por t então isolamos q (t) de:

Pronto temos uma função:

vamos agora achar μ(x):

Então:

Assim a função que descreve a carga no capacitor em função do
tempo é dada por:

Agora temos um problema de valor inicial com:

Onde a diferença de potencial elétrico do capacitor é a ddp da
bateria que o carregou,



então temos que:

Portanto, para acharmos K faremos:

Então:

Experimento 1

Bateria de 9V(Carregando o capacitor ate 9,32)

Resistencia 9750

Capacitor de 2200μF ou 0,0022F

Formula:

Tivemos como fonte material coletado na internet a ajuda do Professor Mestre Silvio Cesar Garcia Granja.

 Na próxima vamos tentar (quem sabe) um Circuito RLC



Encontra-se parcialmente completo e erros a serem corrigidos, resolvemos colocar aqui para servir como fonte de discussão do trabalho apresentado em sala de aula. Agradecemos se colaborar com sugestões e correções.